命題の真偽性の問題を解決し論理の体系を統合する新概念・新証明法、そこから生まれし新定理

 

さっそくだが、キミに問題だ。

 

「鳥は、飛ぶ」という命題は、真か?偽か?

 

今、答えに迷っているキミは、相当かしこい。

なぜなら、この問題に正解はないからだ。

 

「鳥は、飛ぶ」という命題は、

「アヒルは、飛ばない」という意味では、偽であるが、

「スズメは、飛ぶ」という意味では、真だ。

 

このように、真とも偽とも解せないような命題は、通常は証明ができない。

 

しかし、「鳥は、飛ぶ」という命題は、

「スズメは、飛ぶ」

「カラスは、飛ぶ」

「ハクチョウは、飛ぶ」

「ハクチョウAは、飛ぶ」

「ハクチョウBは、飛ぶ」

「ハクチョウCは、飛ぶ」

「ケガをしていないハクチョウCは、飛ぶ」

「小さなケガをしたハクチョウCは、飛ぶ」

「大きなケガをしたハクチョウCは、飛ぶ」

いくらでも命題を引き出すことができる。

 

このように、真か偽か判断できるレベルまで演繹して、

全体の真偽を、真の割合・百分率として表現することで、

真とも偽とも解せない命題の証明ができるようになるのだ。

 

目次

命題の真偽性の問題を解決し論理の体系を統合する新概念・新証明法
嘘つきのパラドックス、自己言及のパラドックスから生まれし新定理

命題の真偽性の問題を解決し論理の体系を統合する新概念・新証明法

命題の真偽性 ベン図

 

ある命題について、

演繹される命題に占める、真の割合・百分率を、

新概念・新証明法 真理率の公式

と表すことができる。

 

例えば…

「鳥は、飛ぶ」という命題について、

鳥の種類を基準にすると、

鳥の種類は全部でおよそ10000種、飛べない鳥はおよそ40種なので、

「鳥は、飛ぶ」という命題は、

鳥の種類を基準にすると、

およそ99.6%正しい(真である)、

およそ0.4%正しくない(偽である)、

ということが言えるのだ。

 

ある命題「P」の真理率について、

「P」=0~100

 

Pの否定「Pでない」は、真理率全体が100なので、

「Pでない」=100-P

 

命題P、Qの真理率について、

命題の命題「PならばQ」は、PとQの真偽の差(|P-Q|)の分だけ、正しくない(偽である)と言えるので、

「PならばQ」=100-|P-Q|

 

論理の体系は、真理値(しんりち、truth value|真偽値、しんぎち|論理値、ろんりち、logical value)を、

真(True、T)と、偽(False、F)の、2値とする「標準論理」(standard logic|古典論理、classical logic|2値論理、two-valued logic)に始まった。

 

ところが、命題の真偽性の問題から、真理値を、

  • 真と、偽と、真偽不明のような、3値とする「3値論理」(three-valued logic)
  • 真~偽と、あいまいさをもつ値とする「ファジー論理」(fuzzy logic)など

現在では、様々な領域に、細分化されているのだ。

 

真理率(しんりりつ|Truth rate)は、

古代ギリシアの哲学者「アリストテレス」(前384~前322)の時代から問題とされてきた、命題の真偽性の問題を解決し、

こうして細分化されてしまった、本来一つであるべきはずの論理の体系を統合する新概念・新証明法だ。

 

嘘つきのパラドックス、自己言及のパラドックスから生まれし新定理

 

自己言及(じこげんきゅう|Self-reference)とは、自らについて言及することだ。

 

主体が、主体(=客体)について言及すること、

主体と客体が等しくなる言及、主張、定立だ。

 

まず、

自らについて言及すると、その主張に、無限のループ「再帰」(さいき)が生じる(自己言及の再帰性)。

 

例えば…

「この文は、日本語だ」という、この文は、

…「「「この文は、日本語だ」は、日本語だ」は、日本語だ」…

このような、再帰が生じる。

 

そして、

自らの真偽について言及すると、次のようなパラドックス(Paradox)が生じるのだ(自己言及の真偽性の問題)。

 

Q1:嘘つきのパラドックス

 

「私は、嘘つきだ」と発言する人について、考えてみてほしい。

この人が”正直”なら、「私は、嘘つきだ」という発言が嘘になり、矛盾する。

この人が”嘘つき”でも、「私は、嘘つきだ」という発言が正直になり、矛盾する。

これが、古代ギリシアの哲学者エウブリデスの時代(紀元前4世紀頃)から知られている、嘘つきのパラドックス(Liar Paradox)という問題だ。

 

A:自己言及の方程式

 

嘘つきのパラドックスと論理的に同じ命題、

「命題Yは、偽である」という命題Yについて、考えてみてほしい。

命題Yを”真”と解すると、「命題Yは、偽である」という命題が偽となり、矛盾する。

命題Yを”偽”と解しても、「命題Yは、偽である」という命題が真となり、矛盾する。

この命題Y(以後、Y)が矛盾しないためには、Yと「Yは、偽である」が、等しくなる必要がある。

 

したがって、次の方程式の答えが、このパラドックスの答えだ。

 

Y=「Yは、偽である」(0≦真理率≦100)

 

偽は、0%正しいので、

Y=「Yは、0」

 

命題の命題「Yは、0」は、Yと0の真偽の差(|Y-0|)の分だけ、正しくない(偽である)と言えるので、

Y=100-|Y-0|

Y=100-|Y|

 

Y≧0なので、

Y=100-Y

2Y=100

Y=50

 

つまり、この命題は、

50%正しい(真である)、

50%正しくない(偽である)、

ということになる。

 

そうすると、嘘つきのパラドックスの答えは、

50%正直である(真である)、

50%嘘つきである(偽である)、

ということだ。

 

50=…「「「50→0」→0」→0」…

 

無限にループしたとしても、等式が成り立つこと、矛盾しないことを確認してほしい。

 

次は、これを、自己言及のパラドックス(Self-reference Paradox)に応用してみることにする。

 

Q2:自己言及のパラドックス

 

自己言及命題「命題Yは、命題X」という命題Yを、数式化すると、

Y=「Yは、X」(0≦真理率≦100)

 

命題の命題「Yは、X」は、YとXの真偽の差(|Y-X|)の分だけ、正しくない(偽である)と言えるので、

Y=100-|Y-X|

 

【1】Y-X≧0、Y≧Xのとき、
Y=100-|Y-X|
Y=100-(Y-X)
Y=100-Y+X
2Y=100+X
2Y=X+100
Y=0.5X+50

【2】Y-X<0、Y<Xのとき、
Y=100-|Y-X|
Y=100-{-(Y-X)}
Y=100+(Y-X)
Y=100+Y-X
0=100-X
X=100

 

これをグラフで表すと、

新定理 自己言及命題の構造

不思議な一次関数のグラフになる。

 

A:自己言及の定理

 

自己言及命題「命題Yは、命題X」という命題Yについて、

真理率についての等式

Y=0.5X+50 (0≦X<100)
Y=0~100 (X=100)

が成り立つ。

新定理 自己言及命題の構造

 

つまり、

自らその主張の正しさを主張すればするほど、その主張は正しさを増していくが、100に達すると、たちまちその主張の正しさは崩壊する、

ということだ。

 

この定理から、

ある理論Zが、自己言及命題Yを含むと、

【1】主張Xが、0以上100未満のとき、
Zは、Y(50以上100未満)という”正しくない部分”を含むことになり、

【2】主張Xが、100のとき、
Zは、Y(0~100)という”証明できない部分”を含むことになる。

 

自己言及は、【1】”正しくない部分”、あるいは、【2】”証明できない部分”を生じさせる。

 

自分で自分のことを主張する人に違和感を感じるのは、こういうことだ。

 

ps.

本記事は、”Easy ScienceBook 『ファイ』 ー科学の基本書ー”という、私の科学の集大成の記事群から抜粋したものだ。

ファイは、およそ3年間、今はなきWEBサイトにて、公開させていただいた。

その間、Prudenceさん、Vickiさん、Jennyさんをはじめ、海外の科学者の方からたくさんのコメントをいただいた。

ファイを引用してくれた方、ファイにコメントしてくれた方、ファイを最後まで読んでくれた方、本当に感謝している。